不要小瞧了 Monty Hall problem(三门问题)

1.问题

Monty Hall problem 衍生过许多版本，写进过高中数学教科书思考题，在网上讨论也颇多，但目前看到的结论多数不赞同，或者是被限制了条件。下面来看一下这个悖论的原始版本：

Monty Hall 是美国一个电视游戏节目的主持人，你是参赛者。你面对三扇门(A,B,C)，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门后面是山羊，你的目标是赢得汽车。你随机选择一扇门(假设你选择了A)，这时主持人打开了C，C后面是一只山羊，并给你一次重新选择的机会。现在汽车只可能在A和B中，你该不该换门，汽车在A和B后面的概率各是多少？

选1号还是选2号？

2.思考

不同的人有不同的思考方式，主要集中在以下几种：

  • 佛性思考法：只剩下两个门了，那么这时候汽车在A或B后面的概率是平等的，换不换无所谓。

  • 反选法：三个门选一个获奖率是1/3，但如果让你同时选两个门就是2/3这是毫无疑问的，你是一个心机girl，心里选了B+C，嘴上对主持人说选A，之后不管她从B或C打开哪一个门(后面是羊)，都相当于为你排除了多数中的错误答案，你间接选择了B+C，所以换门的概率更大，为2/3，不换的概率1/3，这是网上最常见的答案，证明方式各有不同，但事实真如此吗？

  • 经验法：祖先告诉了我们经验的重要性，你在不知是否换门之际，掏出手机google了 Monty Hall，发现了她的黑历史，原来，她只在参赛者第一次选对时，才故意打开另一扇门迷惑你。之前所有和你一样参加这个节目的人，凡是第二次换门，最后都空手而归，看到这里后你还坚持换门吗？

3.为什么会有悖论？

除了问题描述本身，还有一个关键之处：Monty Hall 打开另一扇门的动机。这个问题实际是一个缺少先验概率的条件概率问题。不妨我们给它补上： Monty Hall 在你选对的情况下打开另一扇门的概率是 x，在你选错的情况下打开另一扇门的概率是 y，这道题才能计算正确答案！现在我们来算一算，当 x, y 符合什么情况该换门，什么情况不该换。

先考虑极端情况：

  • x = y = 1: 应该换！参考反选法。
  • x = 1, y = 0: 必须不换！参考经验法。
  • x = 0, y = 1: 请问这个福利节目现在还有么。
  • x = 0, y = 0: 会导致不存在打开另一扇门的情况，不合理。

根据贝叶斯公式：

贝叶斯公式

可见，不换门赢得汽车的概率，只与y与x的比例有关，下面是x, y在[0,1]范围内的热度图像

水平轴为第一次选对主持人打开另一扇门的概率，垂直轴为第一次选错主持人打开另一扇门的概率

  • y/x 越小，越靠近绿色，汽车在A的概率越接近1，不应该换；
  • y/x 越大，越靠近红色，汽车在A的概率越接近0，应该换；
  • 在图中的黑线 y=0.5x 上，换与不换概率均为0.5

4.Python 验证

利用random随机数，制造出随机的五组x, y 计算理论概率，并模拟实际几率

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# -*- coding: utf-8 -*-

__author__ = 'zijian'

import random

def monty_hall_problem(max_trial, x, y):
    done = False
    total_car_in_A = 0
    total_trial = 0
    #Monty Hall 问题大量发生，每一次选A
    while not done:
        #用1，2，3表示汽车在A，B，C
        car_behind_door = random.randint(1,3)    
        if car_behind_door == 1:
            #有x概率开另一扇门，此时不换会赢得汽车
            if random.random() < x:
               total_car_in_A += 1
               total_trial += 1
            #否则不开门，不符合条件
            else:
                continue
        #有y概率开另一扇门，此时不换赢不到
        elif random.random() < y:
            total_trial += 1
        #同样，不符合条件
        else:
            continue
        if total_trial >= max_trial:
            done = True
    return total_car_in_A / total_trial

if __name__ == "__main__":
    for i in range(5):
        #随机选5组随机数
        x = random.random()
        y = random.random()
        #理论值
        p0 = x /(x + 2 * y)
        #实际值
        p = monty_hall_problem(1000000, x, y)
        print("第%s次随机x = %s, y = %s，理论概率 x/(x + 2y)：%s"%(i+1, x, y, p0))
        print("第%s次百万数量模拟下，汽车在A门后的几率为：%s，相对误差为%s%%" % (i+1, p, 100*(p - p0)/ p0))

上述代码执行后的结果如下：

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第1次随机x = 0.4861871788241564, y = 0.12591280082723066，理论概率 x/(x + 2y)：0.6587788066608457
第1次百万数量模拟下，不换门赢的几率为：0.658873，相对误差为0.014298173863823812%
第2次随机x = 0.07298868281286575, y = 0.5447049643017904，理论概率 x/(x + 2y)：0.06279144012734585
第2次百万数量模拟下，不换门赢的几率为：0.062931，相对误差为0.22225939136149226%
第3次随机x = 0.42103934207411153, y = 0.6491863485255072，理论概率 x/(x + 2y)：0.24487402233634786
第3次百万数量模拟下，不换门赢的几率为：0.24544，相对误差为0.23113013714240673%
第4次随机x = 0.6276282895713531, y = 0.5662725903978403，理论概率 x/(x + 2y)：0.3565718380248506
第4次百万数量模拟下，不换门赢的几率为：0.356352，相对误差为-0.06165322142890953%
第5次随机x = 0.6709303930216155, y = 0.7945710048946582，理论概率 x/(x + 2y)：0.2968623448466322
第5次百万数量模拟下，不换门赢的几率为：0.296592，相对误差为-0.09106740929768469%
>>>

可见与预期结果一致。

5.这就结束了？

看到这里，你根据节目历史，估算出了x，y，之后通过计算比较了换与不换的概率的大小，去参加节目，是否必有超过一半概率赢回汽车？

答案：当然不是！因为这是一个条件概率问题，你不能保证你去参加节目一定会达成条件。很可能你第一次选错直接 GAME OVER 了。

既然这样计算上面概率还有什么意义呢？我们已经得出这个结论了不是：如果 Monty Hall 打开另一扇门，给我们一次换门的机会，x>2y 时选择不换，否则选择换。所以，还需一步就可以推导不含条件的全概率公式：

不同条件下的全概率公式

化简①式，结果为：1/3,
化简②式，结果为：(1+2y-x)/3

下面是全概率下的热度图像

还是有必要解释一下，这个图片是参加比赛之前根据x，y，计算得到最可能赢得汽车的概率；举个例子，x=0,y=0.25，如果提供了换门机会，那换门胜率将是100%，因为你若第一次选对主持人根本不会开另一扇门！但你无法在比赛前确定会有换门机会，所以综合胜率是50%

这个结果是符合常理的，仅当x=0，y=1情况，参赛者必赢（要么第一次选对直接赢得汽车，要么第一次选错100%开门，第二次换门赢得汽车），其他情况下，根据不同的x,y，赢得汽车的概率在1/3和1之间

6.结论

如果你是参赛者，并且希望赢走汽车，为了提高成功率一定要提前知道 Monty Hall 的策略（根据节目历史估算 x, y）

如果你不知道该不该参加节目，可以通过 汽车价格 × 上面的概率 计算 期望值，如果期望值大于入场门票价格，那么，大量参加节目是稳赚不赔的（当然在 Monty Hall 不会针对你多次竞猜而改变策略前提下）。事实上，2005年2月，美国的某一个彩票品种由于设计不周，真的出现过稳赚不赔的情况，被麻省理工一名学生发现并通过反复购买赚到了300万美元。链接

那么转换思维，如果你是 Monty Hall 呢，你当然不希望参赛者轻松的赢走门后的汽车，应该怎么做？

短期做法：

  • 如果对方坚持“必换”原则，那么，恭喜你，要么他第一次选错，要么他第二次选错。
  • 如果对方坚持“不换”原则，那么也恭喜你，他最多有1/3的概率赢得汽车，如果一次选中，试试能不能说动他换一扇门吧。
  • 如果对方相当聪明，或者他看完了这篇文章，并通过统计知道了你的习惯，那么他将很有可能赢得汽车。
  • 如果他的小聪明被你看出，那么针对这一次采取相反策略吧。
  • 如果他也看出了你这一次要用相反策略，那…剩下时间留给脑补。

长期做法：

  • 保持x>=2y，即参赛者第一次选对下打开另一扇门，提供换门机会的概率，要大于等于选错情况下提供换门机会的2倍（保持2倍关系即可，相差再大不会影响效果，反而可能会被诟病）。这种情况下任凭参赛者再聪明，也无法奈何，只有1/3的概率赢走汽车。

本文完，原创文章，如需转载，请注明来源。

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